Pi & Planck logoPi & Planck

Mathematics · November 6, 2026

Can You Cross All Seven Bridges Once?

Infographic titled Can You Cross All Seven Bridges Once. Left: a 17th-century engraved map of Königsberg by Merian and a postcard of the Grüne Brücke, one of the seven bridges. Centre: a graph of the four land masses, Kneiphof island, the north bank, the south bank and the east island, joined by seven bridges, with 5, 3, 3 and 3 bridges at the four land masses, all odd. Euler's rule: a walk crossing every bridge once needs zero or two odd land masses, so none exists. A second graph adds one bridge, leaves two odd land masses, and shows a numbered route. Right: Euler's 1753 portrait and a timeline: presented 1735, published 1741, letter to Goldbach 1750, polyhedron papers printed 1758, death 1783. Cards: 7 bridges; 0 routes among 645,120 ordered crossings; 866 works in Eneström's index.
Download high resolutionImage 4096×2304 (JPG)PDF for print

In short

Can you cross all seven bridges of Königsberg exactly once? No. Euler showed why: a land mass with an odd number of bridges must be a start or an end, and Königsberg has four (5, 3, 3, 3). Any one extra bridge would fix it.

Sources

  1. L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (E53), Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8 (1736) [published 1741], 128-140; presented 26 August 1735 (Euler Archive, E53 page)
  2. Euler Archive (MAA / University of the Pacific): E53; E230 and E231 (Novi Commentarii 4, published 1758, pp. 109-140 and 140-160); Goldbach letter OO863, 14 November 1750; Eneström index: 866 works
  3. MacTutor (University of St Andrews): Leonhard Euler biography (born 15 April 1707, Basel; died 18 September 1783, St Petersburg); History of Topology
  4. O. Viro, Stony Brook University MAT 150, Lecture 2 (Traversing nets of curves): zero or two odd nodes; Königsberg has four
  5. Princeton University, Math Alive, Graph Theory Part 1: degrees 3, 3, 3 and 5
  6. C. J. Huffman, Euler Archive Spotlight on E53, Euleriana 1(1), 2021, 141-143: credited as the genesis of graph theory
  7. Images (public domain): Koningsberga, attributed to M. Merian (d. 1650), BnF Gallica btv1b532358047; Königsberg i. Pr. Grüne Brücke, postcard, Bildarchiv Ostpreußen via Wikimedia Commons; J. E. Handmann, Leonhard Euler, 1753, Kunstmuseum Basel
  8. Computed here: all 645,120 directed orderings of the 7 bridges checked, 0 valid walks; every single added bridge between two different land masses gives a walk (6 of 6 pairs)

آیا می‌توان از هر هفت پل فقط یک بار گذشت؟

اینفوگرافیک «آیا می‌توان از هر هفت پل فقط یک بار گذشت؟». سمت راست: نقشهٔ حکاکی‌شدهٔ قرن هفدهم کونیگسبرگ اثر مریان و کارت‌پستالی از پل سبز، یکی از هفت پل. وسط: گرافی از چهار خشکی، جزیرهٔ کنایپهوف، ساحل شمالی، ساحل جنوبی و جزیرهٔ شرقی، با هفت پل؛ تعداد پل‌ها ۵، ۳، ۳ و ۳ است و همه فرد هستند. قاعدهٔ اویلر: مسیری که از هر پل یک بار بگذرد صفر یا دو خشکی با تعداد فرد پل می‌خواهد؛ پس چنین مسیری نیست. گراف دوم یک پل اضافه می‌کند، دو خشکی فرد می‌ماند و مسیری شماره‌گذاری‌شده نشان می‌دهد. سمت چپ: پرتره اویلر (۱۷۵۳) و خط زمانی: ارائه ۱۷۳۵، انتشار ۱۷۴۱، نامه به گلدباخ ۱۷۵۰، چاپ مقاله‌های چندوجهی ۱۷۵۸، درگذشت ۱۷۸۳. کارت‌ها: ۷ پل؛ ۰ مسیر در میان ۶۴۵٬۱۲۰ ترتیب عبور؛ ۸۶۶ اثر در فهرست انستروم.
دانلود با کیفیت بالاتصویر ۴۰۹۶×۲۳۰۴ (JPG)PDF چاپی

خلاصه

آیا می‌توان از هر هفت پل کونیگسبرگ فقط یک بار گذشت؟ نه. اویلر نشان داد چرا: خشکی با تعداد فرد پل باید آغاز یا پایان مسیر باشد و کونیگسبرگ چهار تا دارد (۵، ۳، ۳، ۳). یک پل بیشتر مسئله را حل می‌کرد.

منابع

  1. L. Euler, Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (E53), Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8 (1736) [published 1741], 128-140; presented 26 August 1735 (Euler Archive, E53 page)
  2. Euler Archive (MAA / University of the Pacific): E53; E230 and E231 (Novi Commentarii 4, published 1758, pp. 109-140 and 140-160); Goldbach letter OO863, 14 November 1750; Eneström index: 866 works
  3. MacTutor (University of St Andrews): Leonhard Euler biography (born 15 April 1707, Basel; died 18 September 1783, St Petersburg); History of Topology
  4. O. Viro, Stony Brook University MAT 150, Lecture 2 (Traversing nets of curves): zero or two odd nodes; Königsberg has four
  5. Princeton University, Math Alive, Graph Theory Part 1: degrees 3, 3, 3 and 5
  6. C. J. Huffman, Euler Archive Spotlight on E53, Euleriana 1(1), 2021, 141-143: credited as the genesis of graph theory
  7. Images (public domain): Koningsberga, attributed to M. Merian (d. 1650), BnF Gallica btv1b532358047; Königsberg i. Pr. Grüne Brücke, postcard, Bildarchiv Ostpreußen via Wikimedia Commons; J. E. Handmann, Leonhard Euler, 1753, Kunstmuseum Basel
  8. Computed here: all 645,120 directed orderings of the 7 bridges checked, 0 valid walks; every single added bridge between two different land masses gives a walk (6 of 6 pairs)

← All posts